5 клас

Логічні  задачі (5 клас)

Натуральні числа

1.                 Назви всі двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює три.

2.                 Назви всі двоцифрові числа, сума цифр яких дорівнює найбільшому одноцифровому числу.

3.                 Які цілі числа при закресленні останньої цифри зменшується у ціле число разів?

4.                 Як швидко обчислити:    1+3+5+7+9+…+99?

5.                 Яке число лишнє:     0, 1, 2, 3?

6.                 Скільки є двоцифрових чисел, у яких серед цифр є хоч одна п»ятірка?

7.                 Для нумерації сторінок книги необхідно всього 1392 цифри. Скільки сторінок  має ця книга?

8.                 Скільки всього прабабусь і прадідусів було у всіх ваших прабабусь і прадідусів?

9.   За диван заплатили спочатку 416 грн., а потім і ще половину вартості цього дивану Скільки коштує диван? 

10. Жили-були дід та баба. Була в них курочка Ряба. Курочка несе кожне друге яйце просте, а кожне третє – золоте. Чи може таке бути?

11. Візьміть будь-які три різні цифри, крім нуля. Складіть із них всі можливі трицифрові числа, додайте їх і отриману суму поділіть на суму взятих  цифр. У вас вийде 222. Чому?

12. Обчисліть: 2379•23782378 -  2378•23792379.

13. Мишці до дірки 20 кроків, кішці до мишки 5 стрибків. Доки кішка робить один стрибок, мишка робить 3 кроки, а 1 стрибок кішки дорівнює 10 крокам мишки. Чи дожене кішка мишку?

14. Поставте замість зірочок знаки + і – так, щоб виконувалась рівність: 40*20*60*30*50=100.

15. У батька 5 дочок і кожна дочка має брата. Скільки дітей у батька? (шестеро).

16. Кравець має 18м сукна і щодня відрізає від нього по 3 м. На який день від це зробить останній раз? (на п'ятий день).

17. Двоє пішли - 5 цвяхів знайшли. Четверо підуть - скільки знайдуть? (жодного).

18. Горіло 5 свічок. Дві з них згасли. Скільки свічок залишилося? (дві).

19. Одне яйце варять протягом 4 хвилин. Тоді воно вважається звареним. За скільки  хвилин можна зварити 5 яєць. (за 4 хвилини).

20. Селянин ішов до залізничної станції і зустрів дві бабусі, кожна з яких несла по два кошики і в кожному кошику було по два кролі. Скільки йшло до станції?

(один селянин).

21. Скільки буде десятків, якщо два десятки помножити на два десятки? (40).

22. На дереві сиділо 6 горобців. Стрілець вистрілив, влучив у двох із них. Скільки горобців залишилося на дереві? (жодного).

23. Два півні можуть розбудити своїм співом одну людину. Скільки людей розбудять своїм співом шість півнів?  (одну людину).

Відрізки, промені, шкали і кути

1.                 Скільки променів утвориться при перетині двох прямих?

2.                 Скільки променів можна побудувати з початком у точці К?

3.                 Дідусь у ліфті, а онук сходами піднімаються на 4-й поверх за 30с. за скільки секунд кожний піднімається на один поверх?

4.                 П’ятикласникам доручили вздовж доріжки завдовжки 21м посадити кущі. Скільки потрібно мати саджанців, якщо їх садять на відстані 70см один від одного і кущі повинні бути на початку і в кінці доріжки?

5.                 Назви число, рівновіддалене на координатному промені від чисел 140 і 180.

6.                 О котрій годині стрілки годинника утворюють: прямий ( розгорнутий, гострий, тупий) кут?

7.                 На прямій дано 7 різних точок. Скільки відрізків визначають ці точки на прямій? Відповідь. 21 відрізок.

8.                 Знайди ¹/₂   ( ²/₃) прямого кута.

9.                 Скільки утвориться розгорнутих кутів при перетині двох прямих?

10.              При перетині двох прямих один з утворених кутів дорівнює 60⁰. Знайди величину інших кутів.

11.             Підберіть слово, яке означає те саме, що і слова за дужками.

                  Міра кута ( . . . . . . ) міра температури.

                  Міра кута ( . . . . . . . ) міра часу.

12. Скільки утвориться гострих кутів, якщо всередині даного гострого кута із його вершини провести три промені?

  

Вирази і рівняння

1.                 Що більше і на скільки: х чи х+10;  х чи х – 5?

2.     Коли таке буває: 65+х=65-х,     240-х=х?

3.                 За записами розв’язання відтвори початкове рівняння:

…*…=30;       х=90-30;    х=60.

4.                 В одній купці 25-копійкові монети, а в другій – 5-копійкові. Кількість монет в купках однакова. Скільки грошей в кожній купці, якщо всього було 3 грн.?

5.                 Деяке число поділили на 2, до результату додали 1, потім все це поділили на 5, результат помножили на 9 і знову отримали те саме число. Знайти це число. ( 18 )

6.                 Знайди х, не виконуючи ніяких обчислень:

     64-х=64+х           

     х + 341=341 - х  

8. Знайди різницю добутків чисел 809∙908  і   809∙808.

9. Знайди значення виразів:

  6х + 6у, якщо х+у=20

 9х- 9у, якщо х – у =11

1.     Кенгуру купив три сорти шоколадок: великі, середні, і малі. Одна велика шоколадка коштує 4 гривні, одна середня шоколадка коштує 2 гривні, малі шоколадки по одній гривні. За16 гривні Кенгуру купив 10 шоколадок. Скільки великих шоколадок купив Кенгуру? Відповідь:  1 велику, 3 середні, 6 маленькі.

  

Геометричні фігури і величини

1.   У якому трикутнику сума двох його кутів дорівнює третьому?

(у прямокутному).

2. Скільки граней має непідстружений шестигранний олівець?

3. Як перевірити, що чотирикутник є квадратом.

4. Маємо прямокутник зі сторонами 12см і 10 см. Що треба зробити з його довжиною, щоб отримати квадрат?

5. Як  у кімнаті можна поставити 2 стільці так, щоб біля кожної стіни стояло по одному стільцю?

6. Чи можна з трьох паличок 10, 6 і 4 см скласти трикутник? Паличкою якої довжини треба замінити меншу, щоб можна було скласти трикутник?

7. Боксерський ринг має форму квадрата, сторона якого 6м. Ринг огороджено потрійним канатом. Скільки метрів канату використали?

8. Доберіть закінчення до даних слів, яке є мірою довжини.

    Пери

     Діа                          ( . . . . )

     Моно

9.  Підберіть слово, яке означає те саме, що і слова за дужками.

Чотирикутник ( . . . . . . . ) друга степінь числа.

10.Із 22 сірників складіть прямокутник найбільшої площі.

11.Периметр прямокутника 28 см (довжини виражаються цілим числом). Чи може його площа дорівнювати 40 см²? 33см²?

12.Скільки чотирикутників у п»ятикутній зірці?

  

Звичайні дроби

1.                 Садівника спитали, скільки у твоєму саду дерев? Він відповів: "Половина всіх моїх дерев -яблуні, половина з тих, що залишилися - груші; а решта шість дерев - вишні". Скільки в цьому саду дерев? (24 дерева).

2.                 Вранці бабуся поділила між чотирма внуками порівну два яблука, в обід  - шість, а ввечері – три. Скільки яблук одержав кожний онук за день?

3.                  Пляшка, що може вмістити 1/3 літра, заповнена на ¾ водою. Скільки води залишиться у пляшці після того, як з неї вилили 200 мл?

4.                 Запиши число 100 чотирма дев»ятками. ( 99 + ⁹/₉ )

5.                 За тиждень Вінні-Пух з»їдає 9 кг меду. Скільки меду в середньому з»їдає Вінні-Пух за 1 день?

6.                 При яких значеннях х дроби: ⁷ /_х  і ^х /₃ одночасно неправильні?

7.                 При яких значеннях х дроби: ^х /₇  і ³ /_х одночасно правильні?

8.                 Перестав цифри різними способами так, щоб дістати неправильний дріб зі   ¹⁰⁹/₁₁₀.

9.                 Перестав цифри різними способами так, щоб дістати правильний дріб зі   ¹¹¹/₁₀₉.

10.             У банку помістилося 1 л молока і ще могло поміститися ¹/₅ л. Яка місткість банки?

11. Коли до третини задуманого числа додати 5, то вийде 20. Яке число було задумано?

12. Відомо,що третина половини числа становить 12. Знайдіть це число.

Десяткові дроби

1. Число 666 потрібно збільшити у півтора рази, не проводячи над цим ніяких арифметичних дій. Як це зробити?   (Аркуш паперу, на якому написано число, повернути на 180°).

2. Скільки буде, коли 10 поділити на десяту частину?  (100).

3.   Скільки буде, коли сотню поділити на четверту частину?  (400).

4. Знайди четверте число в записі: 0,3; 0,6; 1,2;…

5. Не обчислюючи частки, порівняй вирази:

20,8:16 і 10,4:8                   

1,365:65 і 13,65:65

 14,7: 21 і 1470:21

6. Який знак треба поставити між цифрами 3 і 4, щоб одержати число більше, ніж 3, але й менше, ніж 4?

7. Швидкість течії річки 1,5 км/год. Пароплав пливе проти течії річки. На скільки кілометрів за годину його швидкість за течією буде більша від швидкості проти течії?    (на 3 км/год).

8. У прикладах витерті коми. Розставте їх у потрібних місцях:

26+14=4          4+215=615         63+19=253856 - 556=3

74-36=704      89-6=29

9. Знайди пропущене число:         

2,7	6,1	3,4
1,8		5,9

10   Назви 4 числа більших від 0,1, але менших за 0,3

  

Цікава математика

у розв’язках і міркуваннях

Вiд якостi, глибини i обсягу знань якими оволодiває пiдростаюче поколiння, значною мiрою залежить дальший прогрес нашого суспiльства.

І тому сьогоднi актуальною стає проблема навчити учнiв мислити, розв’язувати задачi не лише стандартнi, а й такi що вимагають певної незалежностi мислення, творчих пошукiв оригiнальностi, винахiдливостi.

В таких задачах учнi не знають заздалегiдь нi способу їх розв’язання, нi того, на якому навчальному матерiалi ґрунтується розв’язання. Щоб виконати таку вправу, треба всебiчно врахувати взаємозв’язки між даним i шуканим, правильно оцiнити окремi компоненти завдання, поданого в нестандартнiй формі, зрозумiти властивостi величин та залежностi мiж ними, якi безпосередньо не зазначенi в умовi, але випливають з певних закономірностей, причинних залежностей.

Задачi логiчного спрямування стимулюють дiтей до активної розумової дiяльностi, до творчого пошуку, розвиваютъ логiчне мислення, кмiтливiсть, комбiнаторнi здiбностi, а головне — сприяють усвiдомленню математичних закономiрностей, формуванню навичок свiдомого вибору дiй, практичних умiнъ i загалом пiдвищують культуру мислення.

Досвiд показує, що сильнi учнi з iнтересом розв’язують такi задачi, виявляють творчу самостiйнiсть, насолоджуються радiстю перемоги. А емоцiї, викликанi розв’язуванням нестандартних творчих задач, пережитi людиною в шкільному вiцi, можугь пробудити у неї смак до розумової дiяльностi, залишити свiй слiд в розумі i характерi людини на довгi роки, а може бути, i на все життя.

  

5 клас

1. 1. Дано числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Розташуйте їх по чотири на кожній стороні трикутника так, щоб суми на кожній стороні трикутника були рівними:  а) одному парному числу; б) одному непарному числу; в) трьом послідовним натуральним числам.

Відповіді: Починаючи з вершини за часовою стрілкою, числа розміщуються так:  а) 5; 3;  4; 8; 1; 9; 2; 6; 7( на кожній стороні по 20).   б)8;  5; 3; 7; 6;  1;  9;  4;  2; ( на кожній стороні по 23)   в) 8; 3; 5; 7; 6; 2; 9; 1; 4(це числа 22,23,24). 

2. Поставте між числами довільні арифметичні дії(без повторень знаків дій)  так, щоб виконувалась рівність:        6    3    3 = 6  3   3.

Відповіді: Враховуючи перестановку лівої та правої частин рівності, отримаємо: 63:3 = 6∙3+3;   63 = 6∙3:3;   6∙3:3 = 6-3+3;   6:3∙3 = 63;  6-3+3 = 6∙3:3; 6∙3+3 = 63:3.    

3. Дід сам випиває діжечку квасу за 14 днів, а разом з бабою випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна баба вип'є таку ж діжечку квасу?

Відповідь. За 70 днів один дід вип'є 70:14=5 діжечок квасу, а  дід і баба  разом вип'ють 70:10=7 діжечок квасу.  Отже, одна баба за 70 днів вип'є 7-5=2 діжечки квасу. А одну діжечку квасу баба вип'є за 70:2=35 днів.

4. Якими способами можна видати зі складу 185 кг фарби, за допомогою лише відер вагою 16 кг, 17 кг, 21 кг? Запиши усі можливі розв'язки.

Відповідь: 1 спосіб: 8 відер по 21кг  та 1 відер по 17 кг.

2 спосіб: 2 відра по 16 кг та 9 відер по 17 кг.

3 спосіб: 1 відро по 16 кг, 5 відер по 17 кг та 4 відра по 21 кг.

4 спосіб: 5 відер по 16 кг та 5 відер по 21 кг.

5 спосіб: 6 відер по 16 кг,  4 відра по 17 кг та 1 відро по 21 кг.

5. У два бідона вміститься десять з половиною літрів води. Якщо б об'єм першого бідона був у два рази більше, а об'єм другого бідона на 8 л більше, ніж в дійсності, то загальний об'єм подвоївся б. Який об'єм кожного бідона?

Відповідь:  х+8+ 2∙у = 2∙10,5. Або х+х + у+у = 21. Звідси, другий бідон має 8 літрів, а другий 2,5 літри.

6. Дано 7 монет. Дві з них фальшиві(легші, ніж справжні). За два зважування на терезах без гир вказати три справжні монети.

Відповідь. Перенумерувати монети від одного до семи. На одну шальку (назвемо її А) терезів покласти монети з номерами 1,2,3, а на другу шальку терезів(назвемо її Б)  покласти монети з номерами 4,5,6. Отримаємо два випадки: або рівновагу, або тяжчу чашечку терезів(на ній усі справжні монети). У випадку рівноваги двох шальок, монета під номером 7 - справжня, то за одне зважування монет  під номером 1 та 2 легко вияснити дві дійсні монети. Якщо вага монети 1 рівна вазі монети 2, то це дійсні монети. У випадку не рівноваги монет 1 та 2, тяжча монета та монета 3 і 7 є справжніми. 

7. Чи можна видати за допомогою тринадцяти грошей номіналом  25; 5; 1 гривень суму 198 гривень?

Відповідь: Тринадцять будь-яких непарних доданків у сумі дають тільки непарні числа, отже, тринадцять непарних чисел не можуть дати у сумі  парне чило. Не можна.

8. Є круглий торт. На цьому торту зробили по колу шість крапок з крему на однаковій відстані по краях. Тільки через ці крапки провели усі можливі прямі лінії. На скільки шматочків розділилася поверхня торта?

Відповідь: 30 шматків.

 9. На конгресі зустрілися біолог, історик, математик і хімік. Кожний із них володів двома іноземними мовами з числа таких: англійська, італійська, німецька, російська. При цьому не було такої мови, якою б володіли всі, але була одна, якою володіли троє. Ніхто не знав німецьку і російську мови одночасно. Хоча хімік і не розмовляє англійською, він може бути перекладачем, якщо захочуть поговорити біолог та історик. Історик знає російську мову і може поговорити з математиком, хоч той і не знає російської мови. Хімік, біолог і математик можуть розмовляти втрьох однією мовою. Якими мовами володіє кожний із вчених?

Відповідь:  хімік знає російську і італійську, історик знає англі  йську та російську, біолог знає німецьку, італійську, математик знає англійську та італійську.

 10. Велосипедист проїжджає 1 км за вітром за 3 хв, а проти вітру - за 5 хв. За скільки хвилин він проїде 1 км, коли не буде вітру?

Відповідь: 1/3 км за хвилину швидкість руху за вітром, 1/5 км швидкість руху проти вітру. Тоді різниця цих швидкостей є подвоєнною швидкістю вітру, тобто 1/3  - 1/5  = 2/15 км за хвилин, а швидкість вітру становить 1/15 км за хвилину.  Різниця швидкості велосипедиста за вітром та швидкості самого вітру це 1/3  -1/15  = 4/15 км за хвилини власна швидкість. Обернений дріб до 4/15 означає час руху велосипедиста, за який він подолає 1 км. Це дріб 15/4 = 3 хвилини 45 секунд.

 11. Скільки разів і коли саме за такий проміжок часу від 0 до 12 год хвилинна стрілка співпаде із годинною?

  Відповідь: 11 разів.

12.    У рівності   * = *;   *+* = *;    * + * + * = *    двоє учнів вписують почергово замість зірочок цілі числа. Довести, що той, хто починає, завжди може досягти того, щоб усі рівності справджувалися.

Вказівка. Перший хід гравець ставить число у другу рівність, а кожним наступним ходом ставить число у ту, рівність, в яку поставив його суперник, при цьому він має можливість вибрати так число, щоб кожна рівність виконувалась( досить вирахувати по відомим числам те, яке необхідне).

13. У класі 25 учнів. Відомо, що серед довільних трьох учнів є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менше ніж 12 друзів.

Вказівка. Припустимо, що немає  учня, у якого рівно 12 друзів. Тоді, розподілимо усіх учнів по кімнатам. У кімнату під номером 0 помістимо учнів, у яких немає друзів. У кімнату під номером 1 помістимо учнів, у яких тільки один друг У кімнату під номером 2 помістимо учнів, у яких тільки двоє друзів. І так далі, у кімнату під номером 11 помістимо учнів, у яких тільки 11 друзів. Якщо у кожній кімнаті по два чоловіки, то усіх учнів у класі 24, це протиріччя вказує на неправильне припущення.

 14. Якби Колі купив три зошити, то в нього залишилося б 11 коп., а коли б він захотів купити 9 таких зошитів, то йому не вистачило 7 коп. Скільки грошей у Колі?

Відповідь. 7+11=18 коп припадає на 9-3=6 зошитів. Отже, один зошит коштує 18:6=3 коп.  3∙3+11=20 коп було у Колі.

15. Олег, Борис і Віктор вирішили за прикладом Куклачова приступити до дресирування своїх кошенят. Борине кошеня стрибало через палицю краще, ніж кошеня сіамської породи. Персидське кошеня стрибало краще ніж Мурзик. Вітине кошеня стрибало краще, ніж Пушок, а Тигрик стрибав не гірше, ніж персидське кошеня. Але сибірському кошеняті надоїло дресирування, і воно подряпало свого господаря. Кого подряпало сибірське кошеня?

Відповідь. Віктор мав сибірського кота Тигрика. Борис мав персидського кота Пушка, Олег мав сіамського кота Мурзика.