6 клас

6 клас

1. Кілька хлопчиків збирали гриби. Один знайшов 6 грибів, а всі інші по 13. Другого дня кількість хлопчиків була іншою. Один з них знайшов 5 грибів, а решта - по 10. Скільки хлопчиків було кожного разу, якщо в обох випадках вони назбирали однакову кількість грибів К, причому відомо, що 100 < К < 200?

Відповідь: першого разу було 14 хлопчиків, а другого - 18 хлопчиків.

2. Знайти всі трицифрові числа, для яких різниця між числом і потроєною сумою його цифр дорівнює 107.

Відповідь: 122 та 149.

3. Знайти всі двоцифрові числа, кожне з яких на 9 більше від суми квадратів його цифр.

Відповідь: 10, 11, 34, 74, 90, 91.

4. Довести, що довільне просте число р > 2 єдиним способом можна подати у вигляді різниці квадратів двох натуральних чисел.

5. Знайти всі пари натуральних чисел, добуток яких у р разів більший за їх суму, де р - просте число.

Відповідь:

 якщо к = 1, то х = р + 1, у = р + р2; якщо к = р, то х = 2р, у = 2р;

якщо к = р, то х = р2+р, у = 1+р.

6. Скількома способами число 1285 можна подати у вигляді суми к послідовних натуральних чисел?

Відповідь: Отже, існує 3 способи.

7. Знайти найменше натуральне число, яке під час ділення на 9 і 14 дає відповідно остачі 7 і 5.

Відповідь: 61.

8. Для настилання підлоги завширшки 6 м є дошки завширшки 17 см і 15 см. Скільки треба взяти дощок того й другого розмірів, якщо вважати, що довжина кімнати і довжина дощок однакові, і дошки кладуться вздовж кімнати?

9. На трасі 800 м треба прокласти газові труби. На складі є труби довжиною 11 м і 13 м. Як найекономніше використати ці труби?

10. Автобаза може послати 30 машин для вивозу цукрових буряків на три приймальні пункти. На базі є дво-, три- і п'ятитонні машини.

11. Скільки треба машин кожної тонажності, щоб за кожну ходку вивозити 100 тонн буряків? Знайти оптимальний розв'язок.

12. 26 осіб витратили разом 88 монет, причому кожен чоловік  витратив 6, жінка - 4, а дівчина -2 монети. Скільки було чоловіків, жінок і дівчат? (Задача Адама Різе (1492-1559)).

13. Хтось купив 30 птахів за 30 монет; з числа цих птахів: за кожних 3 горобців було заплачено 1 монету, за кожних двох горлиць також одну монету і, нарешті, за кожного голуба - по дві монети. Скільки куплено птахів кожного виду? (Задача Леонардо Пізанського (1201)).